QG-Cu1

QG-Cu1: Van Aubel Cubic

Erect Perpendicular Bisectors on the sides of quadrilateral P1.P2.P3.P4.

Make them as long as a fixed ratio of the side they are on.

Connect opposite points. This give 2 new lines.

The locus of their intersection points is QG-Cu1.

When the fixed ratio is + ½ we have the famous Van Aubel Constellation. With this ration the 2 connecting line segments are perpendicular and equal in length. See [8], Aubel, Stelling van Van, and [13] Van Aubel’s Theorem.

Equation QG-Cu1 in CT-Coordinates

(a⁴ p² q² – 2 a² b² p² q² + b⁴ p² q² – 2 a² c² p² q² + 2 b² c² p² q² + c⁴ p² q² + 2 a⁴ p q³ – 4 a² b² p q³ + 2 b⁴ p q³ – 4 a² c² p q³ + 4 b² c² p q³ + 2 c⁴ p q³ + a⁴ q⁴ – 2 a² b² q⁴ + b⁴ q⁴ – 2 a² c² q⁴ + 2 b² c² q⁴ + c⁴ q⁴ – 2 a² b² p² q r + 2 b⁴ p² q r + 2 b² c² p² q r + 2 a⁴ p q² r – 8 a² b² p q² r + 6 b⁴ p q² r – 4 a² c² p q² r + 8 b² c² p q² r + 2 c⁴ p q² r + 2 a⁴ q³ r – 6 a² b² q³ r + 4 b⁴ q³ r – 4 a² c² q³ r + 6 b² c² q³ r + 2 c⁴ q³ r + b⁴ p² r² – b² c² p² r² + a⁴ p q r² – 6 a² b² p q r² + 7 b⁴ p q r² – 2 a² c² p q r² + 2 b² c² p q r² + c⁴ p q r² + 2 a⁴ q² r² – 8 a² b² q² r² + 7 b⁴ q² r² – 4 a² c² q² r² + 4 b² c² q² r² + 2 c⁴ q² r² – a² b² p r³ + 3 b⁴ p r³ – b² c² p r³ + a⁴ q r³ – 4 a² b² q r³ + 5 b⁴ q r³ – 2 a² c² q r³ + c⁴ q r³ – a² b² r⁴ + b⁴ r⁴) x³

+ (-2 a⁴ p³ q + 4 a² b² p³ q – 2 b⁴ p³ q + 2 a² c² p³ q – 2 b² c² p³ q – 5 a⁴ p² q² + 10 a² b² p² q² – 5 b⁴ p² q² + 8 a² c² p² q² – 8 b² c² p² q² – 3 c⁴ p² q² – 4 a⁴ p q³ + 8 a² b² p q³ – 4 b⁴ p q³ + 8 a² c² p q³ – 8 b² c² p q³ – 4 c⁴ p q³ – a⁴ q⁴ + 2 a² b² q⁴ – b⁴ q⁴ + 2 a² c² q⁴ – 2 b² c² q⁴ – c⁴ q⁴ + 2 a² b² p³ r – 2 b⁴ p³ r – 2 b² c² p³ r – 6 a⁴ p² q r + 16 a² b² p² q r – 10 b⁴ p² q r + 6 a² c² p² q r – 14 b² c² p² q r – 10 a⁴ p q² r + 22 a² b² p q² r – 12 b⁴ p q² r + 16 a² c² p q² r – 22 b² c² p q² r – 6 c⁴ p q² r – 4 a⁴ q³ r + 8 a² b² q³ r – 4 b⁴ q³ r + 8 a² c² q³ r – 8 b² c² q³ r – 4 c⁴ q³ r – a⁴ p² r² + 8 a² b² p² r² – 6 b⁴ p² r² – 3 b² c² p² r² + c⁴ p² r² – 8 a⁴ p q r² + 24 a² b² p q r² – 14 b⁴ p q r² + 10 a² c² p q r² – 18 b² c² p q r² – 2 c⁴ p q r² – 6 a⁴ q² r² + 14 a² b² q² r² – 7 b⁴ q² r² + 10 a² c² q² r² – 12 b² c² q² r² – 4 c⁴ q² r² – 3 a⁴ p r³ + 11 a² b² p r³ – 6 b⁴ p r³ + 2 a² c² p r³ – 5 b² c² p r³ + c⁴ p r³ – 4 a⁴ q r³ + 12 a² b² q r³ – 6 b⁴ q r³ + 6 a² c² q r³ – 6 b² c² q r³ – 2 c⁴ q r³ – 2 a⁴ r⁴ + 3 a² b² r⁴ – b⁴ r⁴ + 2 a² c² r⁴ – 2 b² c² r⁴) x² y

+ (a⁴ p⁴ – 2 a² b² p⁴ + b⁴ p⁴ – b² c² p⁴ + 3 a⁴ p³ q – 6 a² b² p³ q + 3 b⁴ p³ q – 4 a² c² p³ q + 2 b² c² p³ q + c⁴ p³ q + 3 a⁴ p² q² – 6 a² b² p² q² + 3 b⁴ p² q² – 6 a² c² p² q² + 5 b² c² p² q² + 3 c⁴ p² q² + a⁴ p q³ – 2 a² b² p q³ + b⁴ p q³ – 2 a² c² p q³ + 2 b² c² p q³ + c⁴ p q³ + 4 a⁴ p³ r – 7 a² b² p³ r + 3 b⁴ p³ r – 2 a² c² p³ r + b² c² p³ r + 2 c⁴ p³ r + 9 a⁴ p² q r – 14 a² b² p² q r + 5 b⁴ p² q r – 14 a² c² p² q r + 8 b² c² p² q r + 5 c⁴ p² q r + 6 a⁴ p q² r – 7 a² b² p q² r + b⁴ p q² r – 12 a² c² p q² r + 5 b² c² p q² r + 6 c⁴ p q² r + a⁴ q³ r – b⁴ q³ r – 2 a² c² q³ r + c⁴ q³ r + 5 a⁴ p² r² – 7 a² b² p² r² + b⁴ p² r² – 4 a² c² p² r² + 5 b² c² p² r² + c⁴ p² r² + 7 a⁴ p q r² – 6 a² b² p q r² – 3 b⁴ p q r² – 12 a² c² p q r² + 10 b² c² p q r² + 5 c⁴ p q r² + 2 a⁴ q² r² + a² b² q² r² – 4 b⁴ q² r² – 4 a² c² q² r² + 2 b² c² q² r² + 2 c⁴ q² r² + 2 a⁴ p r³ – a² b² p r³ – 3 b⁴ p r³ – 6 a² c² p r³ + 7 b² c² p r³ + a⁴ q r³ + 2 a² b² q r³ – 5 b⁴ q r³ – 2 a² c² q r³ + 4 b² c² q r³ + c⁴ q r³ – a⁴ r⁴ + 3 a² b² r⁴ – 2 b⁴ r⁴ – 2 a² c² r⁴ + 2 b² c² r⁴) x y²

+ (-b² c² p⁴ + c⁴ p⁴ – 2 b² c² p³ q – b² c² p² q² – a⁴ p³ r + a² b² p³ r + 2 a² c² p³ r – b² c² p³ r – c⁴ p³ r – 2 a⁴ p² q r + 2 a² b² p² q r + 4 a² c² p² q r – 2 c⁴ p² q r – a⁴ p q² r + a² b² p q² r + 2 a² c² p q² r + b² c² p q² r – c⁴ p q² r – 2 a⁴ p² r² + a² b² p² r² + 2 a² c² p² r² + b² c² p² r² – 2 c⁴ p² r² – 2 a⁴ p q r² + 4 a² c² p q r² + 2 b² c² p q r² – 2 c⁴ p q r² – a² b² q² r² – a⁴ p r³ – a² b² p r³ + 2 a² c² p r³ + b² c² p r³ – c⁴ p r³ – 2 a² b² q r³ + a⁴ r⁴ – a² b² r⁴) y³ + (2 a⁴ p³ q – 2 a² b² p³ q – 4 a² c² p³ q + 2 b² c² p³ q + 2 c⁴ p³ q + 5 a⁴ p² q² – 2 a² b² p² q² – 3 b⁴ p² q² – 10 a² c² p² q² + 2 b² c² p² q² + 5 c⁴ p² q² + 6 a⁴ p q³ – 2 a² b² p q³ – 4 b⁴ p q³ – 12 a² c² p q³ + 2 b² c² p q³ + 6 c⁴ p q³ + 3 a⁴ q⁴ – 2 a² b² q⁴ – b⁴ q⁴ – 6 a² c² q⁴ + 2 b² c² q⁴ + 3 c⁴ q⁴ – 2 a² b² p³ r + 4 b² c² p³ r + 4 a⁴ p² q r – 6 a² b² p² q r – 6 b⁴ p² q r – 8 a² c² p² q r + 14 b² c² p² q r + 4 c⁴ p² q r + 8 a⁴ p q² r – 8 a² b² p q² r – 10 b⁴ p q² r – 16 a² c² p q² r + 16 b² c² p q² r + 8 c⁴ p q² r + 6 a⁴ q³ r – 8 a² b² q³ r – 2 b⁴ q³ r – 12 a² c² q³ r + 8 b² c² q³ r + 6 c⁴ q³ r + a⁴ p² r² – 6 a² b² p² r² – 2 b⁴ p² r² – 2 a² c² p² r² + 9 b² c² p² r² + c⁴ p² r² + 5 a⁴ p q r² – 12 a² b² p q r² – 7 b⁴ p q r² – 10 a² c² p q r² + 16 b² c² p q r² + 5 c⁴ p q r² + 6 a⁴ q² r² – 12 a² b² q² r² – b⁴ q² r² – 12 a² c² q² r² + 8 b² c² q² r² + 6 c⁴ q² r² + 2 a⁴ p r³ – 5 a² b² p r³ – 3 b⁴ p r³ – 4 a² c² p r³ + 5 b² c² p r³ + 2 c⁴ p r³ + 3 a⁴ q r³ – 8 a² b² q r³ – b⁴ q r³ – 6 a² c² q r³ + 4 b² c² q r³ + 3 c⁴ q r³ + a⁴ r⁴ – a² b² r⁴ – 2 a² c² r⁴ + c⁴ r⁴) x² z

+ 2 (-a⁴ p⁴ + a² b² p⁴ + a² c² p⁴ – 3 a⁴ p³ q + 3 b⁴ p³ q + 6 a² c² p³ q – 3 c⁴ p³ q – 5 a⁴ p² q² – a² b² p² q² + 6 b⁴ p² q² + 10 a² c² p² q² + b² c² p² q² – 5 c⁴ p² q² – 4 a⁴ p q³ + 4 b⁴ p q³ + 8 a² c² p q³ – 4 c⁴ p q³ – a⁴ q⁴ + b⁴ q⁴ + 2 a² c² q⁴ – c⁴ q⁴ – 3 a⁴ p³ r + 4 b⁴ p³ r + 4 a² c² p³ r – 3 b² c² p³ r – c⁴ p³ r – 7 a⁴ p² q r – 4 a² b² p² q r + 13 b⁴ p² q r + 14 a² c² p² q r – 4 b² c² p² q r – 7 c⁴ p² q r – 9 a⁴ p q² r – 2 a² b² p q² r + 12 b⁴ p q² r + 18 a² c² p q² r – 2 b² c² p q² r – 9 c⁴ p q² r – 4 a⁴ q³ r + 4 b⁴ q³ r + 8 a² c² q³ r – 4 c⁴ q³ r – 3 a⁴ p² r² – 4 a² b² p² r² + 7 b⁴ p² r² + 6 a² c² p² r² – 4 b² c² p² r² – 3 c⁴ p² r² – 7 a⁴ p q r² – 4 a² b² p q r² + 13 b⁴ p q r² + 14 a² c² p q r² – 4 b² c² p q r² – 7 c⁴ p q r² – 5 a⁴ q² r² + a² b² q² r² + 6 b⁴ q² r² + 10 a² c² q² r² – b² c² q² r² – 5 c⁴ q² r² – a⁴ p r³ – 3 a² b² p r³ + 4 b⁴ p r³ + 4 a² c² p r³ – 3 c⁴ p r³ – 3 a⁴ q r³ + 3 b⁴ q r³ + 6 a² c² q r³ – 3 c⁴ q r³ + a² c² r⁴ + b² c² r⁴ – c⁴ r⁴) x y z + (2 a² b² p⁴ – 2 b⁴ p⁴ – 2 a² c² p⁴ + 3 b² c² p⁴ – c⁴ p⁴ + a⁴ p³ q + 4 a² b² p³ q – 5 b⁴ p³ q – 2 a² c² p³ q + 2 b² c² p³ q + c⁴ p³ q + 2 a⁴ p² q² + 2 a² b² p² q² – 4 b⁴ p² q² – 4 a² c² p² q² + b² c² p² q² + 2 c⁴ p² q² + a⁴ p q³ – b⁴ p q³ – 2 a² c² p q³ + c⁴ p q³ + 7 a² b² p³ r – 3 b⁴ p³ r – 6 a² c² p³ r – b² c² p³ r + 2 c⁴ p³ r + 5 a⁴ p² q r + 10 a² b² p² q r – 3 b⁴ p² q r – 12 a² c² p² q r – 6 b² c² p² q r + 7 c⁴ p² q r + 6 a⁴ p q² r + 5 a² b² p q² r + b⁴ p q² r – 12 a² c² p q² r – 7 b² c² p q² r + 6 c⁴ p q² r + a⁴ q³ r + 2 a² b² q³ r + b⁴ q³ r – 2 a² c² q³ r – 2 b² c² q³ r + c⁴ q³ r + a⁴ p² r² + 5 a² b² p² r² + b⁴ p² r² – 4 a² c² p² r² – 7 b² c² p² r² + 5 c⁴ p² r² + 5 a⁴ p q r² + 8 a² b² p q r² + 5 b⁴ p q r² – 14 a² c² p q r² – 14 b² c² p q r² + 9 c⁴ p q r² + 3 a⁴ q² r² + 5 a² b² q² r² + 3 b⁴ q² r² – 6 a² c² q² r² – 6 b² c² q² r² + 3 c⁴ q² r² + 2 a⁴ p r³ + a² b² p r³ + 3 b⁴ p r³ – 2 a² c² p r³ – 7 b² c² p r³ + 4 c⁴ p r³ + a⁴ q r³ + 2 a² b² q r³ + 3 b⁴ q r³ – 4 a² c² q r³ – 6 b² c² q r³ + 3 c⁴ q r³ – a² b² r⁴ + b⁴ r⁴ – 2 b² c² r⁴ + c⁴ r⁴) y² z

+ (a⁴ p⁴ – 2 a² c² p⁴ – b² c² p⁴ + c⁴ p⁴ + 3 a⁴ p³ q + 4 a² b² p³ q – b⁴ p³ q – 6 a² c² p³ q – 8 b² c² p³ q + 3 c⁴ p³ q + 6 a⁴ p² q² + 8 a² b² p² q² – b⁴ p² q² – 12 a² c² p² q² – 12 b² c² p² q² + 6 c⁴ p² q² + 6 a⁴ p q³ + 8 a² b² p q³ – 2 b⁴ p q³ – 12 a² c² p q³ – 8 b² c² p q³ + 6 c⁴ p q³ + 3 a⁴ q⁴ + 2 a² b² q⁴ – b⁴ q⁴ – 6 a² c² q⁴ – 2 b² c² q⁴ + 3 c⁴ q⁴ + 2 a⁴ p³ r + 5 a² b² p³ r – 3 b⁴ p³ r – 4 a² c² p³ r – 5 b² c² p³ r + 2 c⁴ p³ r + 5 a⁴ p² q r + 16 a² b² p² q r – 7 b⁴ p² q r – 10 a² c² p² q r – 12 b² c² p² q r + 5 c⁴ p² q r + 8 a⁴ p q² r + 16 a² b² p q² r – 10 b⁴ p q² r – 16 a² c² p q² r – 8 b² c² p q² r + 8 c⁴ p q² r + 6 a⁴ q³ r + 2 a² b² q³ r – 4 b⁴ q³ r – 12 a² c² q³ r – 2 b² c² q³ r + 6 c⁴ q³ r + a⁴ p² r² + 9 a² b² p² r² – 2 b⁴ p² r² – 2 a² c² p² r² – 6 b² c² p² r² + c⁴ p² r² + 4 a⁴ p q r² + 14 a² b² p q r² – 6 b⁴ p q r² – 8 a² c² p q r² – 6 b² c² p q r² + 4 c⁴ p q r² + 5 a⁴ q² r² + 2 a² b² q² r² – 3 b⁴ q² r² – 10 a² c² q² r² – 2 b² c² q² r² + 5 c⁴ q² r² + 4 a² b² p r³ – 2 b² c² p r³ + 2 a⁴ q r³ + 2 a² b² q r³ – 4 a² c² q r³ – 2 b² c² q r³ + 2 c⁴ q r³) x z²

+ (-2 a² b² p⁴ – b⁴ p⁴ + 2 a² c² p⁴ + 3 b² c² p⁴ – 2 c⁴ p⁴ – 2 a⁴ p³ q – 6 a² b² p³ q – 6 b⁴ p³ q + 6 a² c² p³ q + 12 b² c² p³ q – 4 c⁴ p³ q – 4 a⁴ p² q² – 12 a² b² p² q² – 7 b⁴ p² q² + 10 a² c² p² q² + 14 b² c² p² q² – 6 c⁴ p² q² – 4 a⁴ p q³ – 8 a² b² p q³ – 4 b⁴ p q³ + 8 a² c² p q³ + 8 b² c² p q³ – 4 c⁴ p q³ – a⁴ q⁴ – 2 a² b² q⁴ – b⁴ q⁴ + 2 a² c² q⁴ + 2 b² c² q⁴ – c⁴ q⁴ + a⁴ p³ r – 5 a² b² p³ r – 6 b⁴ p³ r + 2 a² c² p³ r + 11 b² c² p³ r – 3 c⁴ p³ r – 2 a⁴ p² q r – 18 a² b² p² q r – 14 b⁴ p² q r + 10 a² c² p² q r + 24 b² c² p² q r – 8 c⁴ p² q r – 6 a⁴ p q² r – 22 a² b² p q² r – 12 b⁴ p q² r + 16 a² c² p q² r + 22 b² c² p q² r – 10 c⁴ p q² r – 4 a⁴ q³ r – 8 a² b² q³ r – 4 b⁴ q³ r + 8 a² c² q³ r + 8 b² c² q³ r – 4 c⁴ q³ r + a⁴ p² r² – 3 a² b² p² r² – 6 b⁴ p² r² + 8 b² c² p² r² – c⁴ p² r² – 14 a² b² p q r² – 10 b⁴ p q r² + 6 a² c² p q r² + 16 b² c² p q r² – 6 c⁴ p q r² – 3 a⁴ q² r² – 8 a² b² q² r² – 5 b⁴ q² r² + 8 a² c² q² r² + 10 b² c² q² r² – 5 c⁴ q² r² – 2 a² b² p r³ – 2 b⁴ p r³ + 2 b² c² p r³ – 2 a² b² q r³ – 2 b⁴ q r³ + 2 a² c² q r³ + 4 b² c² q r³ – 2 c⁴ q r³) y z²

+ (b⁴ p⁴ – b² c² p⁴ + a⁴ p³ q + 5 b⁴ p³ q – 2 a² c² p³ q – 4 b² c² p³ q + c⁴ p³ q + 2 a⁴ p² q² + 4 a² b² p² q² + 7 b⁴ p² q² – 4 a² c² p² q² – 8 b² c² p² q² + 2 c⁴ p² q² + 2 a⁴ p q³ + 6 a² b² p q³ + 4 b⁴ p q³ – 4 a² c² p q³ – 6 b² c² p q³ + 2 c⁴ p q³ + a⁴ q⁴ + 2 a² b² q⁴ + b⁴ q⁴ – 2 a² c² q⁴ – 2 b² c² q⁴ + c⁴ q⁴ – a² b² p³ r + 3 b⁴ p³ r – b² c² p³ r + a⁴ p² q r + 2 a² b² p² q r + 7 b⁴ p² q r – 2 a² c² p² q r – 6 b² c² p² q r + c⁴ p² q r + 2 a⁴ p q² r + 8 a² b² p q² r + 6 b⁴ p q² r – 4 a² c² p q² r – 8 b² c² p q² r + 2 c⁴ p q² r + 2 a⁴ q³ r + 4 a² b² q³ r + 2 b⁴ q³ r – 4 a² c² q³ r – 4 b² c² q³ r + 2 c⁴ q³ r – a² b² p² r² + b⁴ p² r² + 2 a² b² p q r² + 2 b⁴ p q r² – 2 b² c² p q r² + a⁴ q² r² + 2 a² b² q² r² + b⁴ q² r² – 2 a² c² q² r² – 2 b² c² q² r² + c⁴ q² r²) z³

Properties

One asymptote // QG-P10.QA-P14.QL-P2.QL-P10 (which actually is QL-L6 in the Quadrigon).
The other 2 asymptotes are mutually perpendicular.
The self-intersecting point of the cubic is QG-P1.QA-P1 ^ QG-P10.QA-P14.
Its Involutary Conjugate is a point on the line QG-P1. QA-P20.
Let (QG) be the Quadrigon formed by the endpoints of the erected perpendicular bisectors. Lines of this Quadrigon are noted between brackets.

(QL-L1) = QG-P7.QG-P9 and (QG-P7.QG-P9) = QL-L1. (Eckart Schmidt, September 15, 2013). These lines are mutually perpendicular.

Estimated human page views: 643